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Thought this was cool: 经典证明:Ptolemy定理的无字证明

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    Ptolemy 定理是平面几何中非常漂亮的定理:圆内接四边形的对边乘积之和等于对角线的乘积。具体地说,如果把一个圆内接四边形的四条边顺次记为 a 、 b 、 c 、 d ,把两条对角线的长度记为 e 和 f ,那么一定有 a · c + b · d = e · f 。 Ptolemy 是一个非常重要的定理,由它出发可以得出很多推论。例如,在圆内接矩形上应用 Ptolemy 定理,可以立即得到勾股定理。下面是另外两个可以用 Ptolemy 定理来解决的问题:证明余弦定理,以及构造两两间的距离都是整数的点集

     William Derrick 和 James Hirstein 在最近的 The College Mathematics Journal 上给出了下面这个 Ptolemy 定理的无字证明,你能看明白吗?

      


 

    左图是一个圆内接四边形,由于同弧所对的圆周角相等,因而图中会产生四对相等的角,我们用 α 、 β 、 γ 、 δ 来标记。由于圆内接四边形对角互补,因此有 α + β + γ + δ = 180° 。现在,把阴影三角形放大到原来的 f 倍,这个三角形的三边将会变为 a · f 、 b · f 、 e · f 。把红色三角形放大到原来的 b 倍,于是三条边的长度将会变为 b · a 、 b · d 、 b · f 。注意到两个放大后的三角形都有一条长为 b · f 的边。同样地,把蓝色三角形放大 a 倍,三边长将变为 a · b 、 a · c 、 a · f ,它和放大版的阴影三角形都有一条长度为 a · f 边。因此,我们可以像右图那样,把三个放大版的三角形拼到一起。由于 α + β + γ + δ = 180° ,因此右图中上面那三个点是共线的,整个图形是一个四边形。观察四边形四个内角的关系可以很快看出,这个四边形是一个平行四边形。因而,它的上下两条对边应该相等,于是有 a · c + b · d = e · f 。

 

来源:http://www.cut-the-knot.org/proofs/PtolemyTheoremPWW.shtml


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Written by cwyalpha

十一月 15, 2012 在 5:38 上午

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